因数分解の基本公式

多項式を因数分解するための基本的な公式として、以下のような公式が存在する。例えば、 $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ や $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ などがある。

まず、差の二乗公式 $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ を証明する。

右辺を展開すると、 $(a - b) (a + b) = a^{2} + a b - a b - b^{2} = a^{2} - b^{2}$ となる。

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

したがって、 $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ が成り立つ。

次に、和の三乗公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ を証明する。

右辺を展開すると、 $(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} - a^{2} b + a b^{2} + a^{2} b - a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3}$ となる。

(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}

したがって、 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ が成り立つ。

これらの公式は、多項式の因数分解において基本的かつ重要な役割を果たす。(証明終)