因数分解の基本公式

多項式を因数分解するための基本的な公式として、以下のような公式が存在する。例えば、\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)や\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)などがある。

まず、差の二乗公式\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)を証明する。

右辺を展開すると、\((a - b)(a + b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2\)となる。

\[ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 \]

したがって、\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\)が成り立つ。

次に、和の三乗公式\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)を証明する。

右辺を展開すると、\((a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3\)となる。

\[ (a + b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3 \]

したがって、\(a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)が成り立つ。

これらの公式は、多項式の因数分解において基本的かつ重要な役割を果たす。(証明終)