二次方程式の解の公式

二次方程式\(ax^2 + bx + c = 0\)（\(a \neq 0\)）の解は、\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)で与えられる。ここで、\(b^2 - 4ac\)は判別式と呼ばれ、解の性質を決定する。

二次方程式の解の公式は、二次方程式の解を係数を用いて直接求める方法である。この公式は代数学の基礎であり、数学や物理学、工学など幅広い分野で応用される重要なツールである。

二次方程式\(ax^2 + bx + c = 0\)を考える。

両辺を\(a\)で割り、\(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)とする。

平方完成を行うため、\(x^2 + \frac{b}{a}x\)に\(\left(\frac{b}{2a}\right)^2\)を加え、引く。

\[ x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{c}{a} = 0 \]

これを整理すると、\(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\)が得られる。

両辺の平方根を取ると、\(x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)となる。

\(x\)について解くと、\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)が得られる。

これにより、二次方程式の解の公式が証明される。(証明終)