因数定理

多項式\(P(x)\)が\(x - a\)を因数に持つための必要十分条件は、\(P(a) = 0\)である。つまり、\(P(a) = 0\)ならば、\(P(x)\)は\(x - a\)で割り切れる。

因数定理は、多項式が特定の因数を持つかどうかを判定するための定理である。この定理は多項式の因数分解や方程式の解法において重要な役割を果たし、代数学の基礎的なツールとして広く利用される。

多項式\(P(x)\)が\(x - a\)で割り切れると仮定する。

このとき、\(P(x) = (x - a)Q(x)\)と表せる。ここで、\(Q(x)\)は多項式である。

\(x = a\)を代入すると、\(P(a) = (a - a)Q(a) = 0\)が成り立つ。

逆に、\(P(a) = 0\)と仮定する。

多項式の剰余定理により、\(P(x)\)を\(x - a\)で割った余りは\(P(a)\)である。

\(P(a) = 0\)であるため、\(P(x)\)は\(x - a\)で割り切れる。

したがって、\(P(x)\)は\(x - a\)を因数に持つ。

以上より、因数定理が証明される。(証明終)