二項定理

二項定理によれば、\((a + b)^n\)の展開は以下のように表される。\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)。ここで、\(\binom{n}{k}\)は組合せの数を表す。

二項定理を数学的帰納法を用いて証明する。

まず、\(n = 1\)のとき、\((a + b)^1 = a + b\)であり、定理は成り立つ。

次に、\(n = k\)のとき定理が成り立つと仮定する。つまり、\((a + b)^k = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} a^{k-i} b^i\)が成り立つ。

\(n = k + 1\)のとき、\((a + b)^{k+1} = (a + b)(a + b)^k\)である。

帰納法の仮定を用いて、\((a + b)^{k+1} = (a + b) \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} a^{k-i} b^i\)となる。

これを展開すると、\((a + b)^{k+1} = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} a^{k+1-i} b^i + \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} a^{k-i} b^{i+1}\)となる。

第二項のインデックスを\(j = i + 1\)と置き換えると、\(\sum_{j=1}^{k+1} \binom{k}{j-1} a^{k+1-j} b^j\)となる。

両方を合わせると、\((a + b)^{k+1} = \sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} a^{k+1-i} b^i + \sum_{j=1}^{k+1} \binom{k}{j-1} a^{k+1-j} b^j\)となる。

これらをまとめると、\((a + b)^{k+1} = \sum_{i=0}^{k+1} \left( \binom{k}{i} + \binom{k}{i-1} \right) a^{k+1-i} b^i\)となる。

組合せの性質により、\(\binom{k}{i} + \binom{k}{i-1} = \binom{k+1}{i}\)が成り立つ。

したがって、\((a + b)^{k+1} = \sum_{i=0}^{k+1} \binom{k+1}{i} a^{k+1-i} b^i\)が得られる。

これにより、\(n = k + 1\)のときも定理が成り立つことが示され、数学的帰納法により二項定理が証明される。(証明終)