方程式の解と係数の関係(Vietaの公式)

n次多項式\(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\)の根を\(r_1, r_2, \ldots, r_n\)とすると、以下の関係が成り立つ。\(r_1 + r_2 + \cdots + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n}\)、\(r_1 r_2 + r_1 r_3 + \cdots + r_{n-1} r_n = \frac{a_{n-2}}{a_n}\)、…、\(r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}\)。

Vietaの公式は、多項式の根と係数の間の関係を示す定理である。この定理は代数方程式の解法や多項式の性質を理解する上で重要な役割を果たす。

証明

n次多項式\(P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0\)の根を\(r_1, r_2, \ldots, r_n\)とする。

この多項式は根を用いて\(P(x) = a_n (x - r_1)(x - r_2) \cdots (x - r_n)\)と表せる。

この式を展開し、係数を比較する。

例えば、\(x^{n-1}\)の係数を比較すると、\(-a_n (r_1 + r_2 + \cdots + r_n) = a_{n-1}\)が得られる。

\[ r_1 + r_2 + \cdots + r_n = -\frac{a_{n-1}}{a_n} \]

同様に、\(x^{n-2}\)の係数を比較すると、\(a_n (r_1 r_2 + r_1 r_3 + \cdots + r_{n-1} r_n) = a_{n-2}\)が得られる。

\[ r_1 r_2 + r_1 r_3 + \cdots + r_{n-1} r_n = \frac{a_{n-2}}{a_n} \]

最後に、定数項を比較すると、\(a_n (-1)^n r_1 r_2 \cdots r_n = a_0\)が得られる。

\[ r_1 r_2 \cdots r_n = (-1)^n \frac{a_0}{a_n} \]

これにより、Vietaの公式が証明される。(証明終)