中間値の定理

関数\(f\)が閉区間\([a, b]\)で連続であり、\(f(a) eq f(b)\)であるとき、\(f(a)\)と\(f(b)\)の間の任意の値\(k\)に対して、\(f(c) = k\)を満たす\(c \in (a, b)\)が存在する。

関数\(f\)が閉区間\([a, b]\)で連続であり、\(f(a) < k < f(b)\)であるとする。

集合\(S = \{x \in [a, b] \mid f(x) \leq k\}\)を定義する。

\(S\)は空でなく、上に有界であるため、上限\(c = \sup S\)が存在する。

\(c\)が\([a, b]\)に含まれることを示す。\(c\)は\(S\)の上限であるため、\(c \in [a, b]\)である。

\(f(c) = k\)であることを示す。\(f\)は\(c\)で連続であるため、任意の\(\epsilon > 0\)に対して、\(|f(x) - f(c)| < \epsilon\)を満たす\(x\)が存在する。

\(c\)は\(S\)の上限であるため、\(f(c) \leq k\)が成り立つ。

また、\(c\)より大きい任意の\(x\)に対して、\(f(x) > k\)が成り立つため、\(f(c) \geq k\)が成り立つ。

したがって、\(f(c) = k\)が成り立つ。

これにより、中間値の定理が証明される。(証明終)