平均値の定理

関数\(f\)が閉区間\([a, b]\)で連続であり、開区間\((a, b)\)で微分可能であるとき、\(\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)\)を満たす\(c \in (a, b)\)が存在する。

関数\(f\)が閉区間\([a, b]\)で連続であり、開区間\((a, b)\)で微分可能であるとする。

新しい関数\(g(x)\)を\(g(x) = f(x) - \left( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \right) (x - a)\)と定義する。

\[ g(x) = f(x) - \left( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \right) (x - a) \]

\(g(a) = f(a)\)であり、\(g(b) = f(b) - \left( \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \right) (b - a) = f(a)\)である。

したがって、\(g(a) = g(b)\)が成り立つ。

ロルの定理により、\(g'(c) = 0\)を満たす\(c \in (a, b)\)が存在する。

\(g'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\)であるため、\(g'(c) = f'(c) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0\)が成り立つ。

\[ f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

これにより、平均値の定理が証明される。(証明終)