三角形の内角の和

任意の三角形の3つの内角の和は常に\(180\)度である。

三角形\(ABC\)を考える。頂点\(A\)を通り、\(BC\)に平行な直線を引く。

この平行線上に、図のように\( D \)、\( E \)をとる。

平行線の性質より、\( ∠DAB \)と\( ∠ABC \)は錯角の関係にあり等しい。また、\( ∠EAC \)と \( ∠ACB \)も錯角であり等しい。

さらに、直線\( DE \)上にある3つの角\( ∠DAB、∠BAC、∠EAC \)の和は\( 180 \)度である。

\[ ∠DAB + ∠BAC + ∠EAC = 180° \]

ここで、\( ∠DAB = ∠ACB、∠EAC = ∠ABC \)であるので、

\[ ∠ACB + ∠BAC + ∠ABC = 180° \]

よって、三角形の内角の和が\( 180 \)度であることが証明された。(証明終)

応用問題

三角形の二つの内角が50°と60°のとき、残りの角の大きさを求めよ。

解答

三角形の内角の和は180°であるため、残りの角度 \( x \) は次のように求められる：

\( x = 180° - (50° + 60°) \)

\( x = 180° - 110° \)

\( x = 70° \)

二等辺三角形の底角が35°のとき、残りの角の大きさを求めよ。

解答

三角形の内角の和は180°であるため、残りの角度 \( x \) は次のように求められる：

\( x = 180° - (35° + 35°) \)

\( x = 180° - 70° \)

\( x = 110° \)

三角形の内角の和が180°であることを用いて、\( n \)角形の内角の和は何度か求めよ。

解答

\( n \)角形の1点から引ける対角線は\( n-3 \)本なので、\( n \)角形は\( n-2 \)個の三角形に分割できる。

よって、三角形の内角の和が\( 180° \)であることより、\( n \)角形の内角の和は、

\( 180° \times (n-2) \)