.png)
マウント・マス
数学の定理とその証明
数学の定理とその証明
三角形の一つの角の二等分線は、対辺を隣り合う二辺の比に分割する。 すなわち、三角形\(ABC\)において、角Aの二等分線が辺\(BC\)を点\(D\)で分割するとき、\[\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\]が成り立つ。
三角形\(ABC\)を考え、角\(A\)の二等分線を引き、辺\(BC\)と交わる点を\(D\)とする。
また、点\(C\)を通り\( AD \)と平行な直線と\( AB \)の交点を\(E\)とする。
\(AD // EC\)より、錯角は等しいので、\( \angle CED = \angle ACE\)
\(AD // EC\)より、同位角は等しいので、\( \angle BAD = \angle AEC\)
これと\(\angle BAD = \angle CAD\)より、\(\angle ACE = \angle AEC\)
よって、\( \triangle ACD \)は二等辺三角形なので、\( AC=AE\)
\(AD // EC\)より、平行線と線分比の性質より、
これと\( AC=AE \)より、
したがって、角の二等分線は対辺を隣り合う二辺の比に分割することが証明される。(証明終)
三角形 \( ABC \) において、角 \( A \) の二等分線が辺 \( BC \) と交わる点を \( D \) とする。辺 \( AB \) の長さが \( 6 \) cm、辺 \( AC \) の長さが \( 9 \) cm のとき、線分 \( BD \) と線分 \( DC \) の長さの比を求めよ。
解答角の二等分線の定理より、角の二等分線は対辺を隣り合う2辺の比に内分する。したがって、
\( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \)
与えられた値を代入すると、
\( \frac{BD}{DC} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
したがって、線分 \( BD \) と線分 \( DC \) の長さの比は \( 2:3 \) である。
三角形 \( ABC \) において、角 \( A \) の二等分線が辺 \( BC \) と交わる点を \( D \) とする。辺 \( AB \) の長さが \( 8 \) cm、辺 \( AC \) の長さが \( 12 \) cm、辺 \( BC \) の長さが \( 10 \) cm のとき、線分 \( BD \) と線分 \( DC \) の長さをそれぞれ求めよ。
解答角の二等分線の定理より、
\( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \)
ここで、\( BD = 2k \)、\( DC = 3k \) とおくと、
\( BD + DC = BC \) より、
\( 2k + 3k = 10 \)
\( 5k = 10 \)
\( k = 2 \)
したがって、
\( BD = 2k = 4 \) cm
\( DC = 3k = 6 \) cm
三角形 \( ABC \) において、辺 \( AB \) の長さが \( 8 \) cm、辺 \( AC \) の長さが \( 6 \) cm、辺 \( BC \) の長さが \( 10 \) cm である。角 \( A \) の二等分線が辺 \( BC \) と交わる点を \( D \) とする。点 \( D \) から辺 \( AB \) および辺 \( AC \) に垂線を下ろし、その交点をそれぞれ \( E \)、\( F \) とする。線分 \( EF \) の長さを求めよ。
解答まず、角の二等分線の定理より、
\( \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \)
ここで、\( BD = 4k \)、\( DC = 3k \) とおくと、
\( BD + DC = BC \) より、
\( 4k + 3k = 10 \)
\( 7k = 10 \)
\( k = \frac{10}{7} \)
したがって、
\( BD = 4k = \frac{40}{7} \) cm、\( DC = 3k = \frac{30}{7} \) cm
次に、三角形の面積を利用して高さを求める。三角形 \( ABC \) の面積 \( S \) は、ヘロンの公式を用いて計算できる。
半周長 \( s \) は、
\( s = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{8 + 6 + 10}{2} = 12 \) cm
したがって、面積 \( S \) は、
\( S = \sqrt{s(s - AB)(s - AC)(s - BC)} \) \( = \sqrt{12 \times (12 - 8) \times (12 - 6) \times (12 - 10)} \) \( = \sqrt{12 \times 4 \times 6 \times 2} \) \( = \sqrt{576} = 24 \) cm²
三角形 \( ABD \) の面積 \( S_{ABD} \) は、\( BD:DC = 4:3 \) であることから、
\( S_{ABD} = \frac{4}{7} \times S = \frac{4}{7} \times 24 = \frac{96}{7} \) cm²
同様に、三角形 \( ACD \) の面積 \( S_{ACD} \) は、
\( S_{ACD} = \frac{3}{7} \times S = \frac{3}{7} \times 24 = \frac{72}{7} \) cm²
三角形 \( ABD \) の高さ \( h_{ABD} \) は、底辺 \( AB \) に対して、
\( S_{ABD} = \frac{1}{2} \times AB \times h_{ABD} \) より、
\( \frac{96}{7} = \frac{1}{2} \times 8 \times h_{ABD} \)
\( h_{ABD} = \frac{96}{7} \times \frac{2}{8} = \frac{24}{7} \) cm
同様に、三角形 \( ACD \) の高さ \( h_{ACD} \) は、底辺 \( AC \) に対して、
\( S_{ACD} = \frac{1}{2} \times AC \times h_{ACD} \) より、
\( \frac{72}{7} = \frac{1}{2} \times 6 \times h_{ACD} \)
\( h_{ACD} = \frac{72}{7} \times \frac{2}{6} = \frac{24}{7} \) cm
したがって、線分 \( EF \) の長さは、
\( EF = h_{ABD} + h_{ACD} = \frac{24}{7} + \frac{24}{7} = \frac{48}{7} \) cm
よって、線分 \( EF \) の長さは \( \frac{48}{7} \) cm