チェバの定理

三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cから対辺BC, CA, ABにそれぞれ交わる線分AD, BE, CFがあり、それらが1点で交わる必要十分条件は次の等式が成り立つことである。

三角形ABCにおいて、点D, E, Fを辺BC, CA, AB上にとり、それぞれの線分AD, BE, CFが1点で交わるとする。このとき、以下の関係式が成り立つことを示す。

\[ \( \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} \cdot \frac{AF}{FB} = 1 \) \]

証明のために三角形の面積比を用いる。各三角形の面積を考慮し、点PをAD, BE, CFの交点とする。

三角形PBDと三角形PDCについて、共通な高さを持つため、面積比は底辺比に等しい。

\[ \( \frac{S_{PBD}}{S_{PDC}} = \frac{BD}{DC} \) \]

同様に、三角形PCEと三角形PEA、三角形PAFと三角形PFBについても面積比を考える。

\[ \( \frac{S_{PCE}}{S_{PEA}} = \frac{CE}{EA} \) \]

\[ \( \frac{S_{PAF}}{S_{PFB}} = \frac{AF}{FB} \) \]

三角形ABCの面積全体について、次の関係式が得られる。

\[ \( \frac{S_{PBD}}{S_{PDC}} \times \frac{S_{PCE}}{S_{PEA}} \times \frac{S_{PAF}}{S_{PFB}} = 1 \) \]

これにより、元の比の積が1であることが示された。逆も同様に示せるため、証明は完了する。(証明終)