円周角の定理

円のある弧に対する円周角は、同じ弧に対する中心角の半分の大きさである。

円Oにおいて、弧ABに対する中心角∠AOBと円周角∠ACBを考える。

円周角の定理を証明するため、点Cの位置によって場合分けを行う。

【場合1】CがABの弦上にある場合

OからCへ線を引くと、OA=OB=OC（円の半径）であり、△OACおよび△OBCは二等辺三角形となる。

\[ \( \angle OAC = \angle OCA \), \( \angle OBC = \angle OCB \) \]

三角形の外角定理より、

\[ \( \angle AOB = 2\angle ACB \) \]

よって、円周角の定理が成り立つ。

【場合2】CがABの延長線上にある場合

C'をABの弦上にとると、場合1より、∠AOB = 2∠AC'Bが成り立つ。

点CをABの延長線上に移動させると、∠ACB = ∠AC'B なので、

\[ \( \angle AOB = 2\angle ACB \) \]

したがって、円周角の定理が一般の場合にも成り立つ。(証明終)