接弦定理

円の接線と弦が作る角は、その弦に対する円周角と等しい。すなわち、円Oにおいて、接線と接点を通る弦ABがあるとき、\( \angle TAB = \angle ACB \) が成り立つ。

円Oの接線と接点Aを通る弦ABを考える。

接点Aにおける接線と弦ABが作る角を \( \angle TAB \) とし、同じ弦ABに対する円周角を \( \angle ACB \) とする。

円の性質より、接線は半径と直交するため、\( \angle OAT = 90° \) となる。

円周角の定理より、中心角 \( \angle AOB \) は円周角 \( \angle ACB \) の2倍である。

\[ \angle AOB = 2 \angle ACB \]

三角形OABにおいて、外角の性質より、

\[ \angle TAB = \frac{1}{2} \angle AOB \]

上の式と円周角の定理より、

\[ \angle TAB = \angle ACB \]

よって、接弦定理が成立することが証明された。(証明終)