トレミーの定理

円に内接する四辺形ABCDにおいて、対角線の積の和は向かい合う辺の積の和に等しくなる。すなわち、

円に内接する四辺形ABCDを考える。

対角線ACとBD、辺AB, BC, CD, DAに対して、トレミーの定理は次の式で表される。

\[ AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC \]

証明のために、点Aを基準にして点Cから点Bへの回転を考える。

点Cを中心に回転角θを持つ回転を考え、ベクトル表現を用いる。

\[ AB \cdot CD = AC \cdot BD \cos \theta \]

ここで、円に内接する四辺形の性質より、円周角を利用すると、

\[ AD \cdot BC = AC \cdot BD \sin \theta \]

これらの式を足し合わせると、

\[ AB \cdot CD + AD \cdot BC = AC \cdot BD \]

したがって、トレミーの定理が証明された。(証明終)