ヘロンの公式

三角形の3辺の長さをa、b、cとし、半周長を\(s = \frac{a + b + c}{2}\)とするとき、三角形の面積Sは\(S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\)で与えられる。

三角形の面積を求めるために、まず余弦定理を用いて一つの角の余弦を求める。余弦定理によれば、\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C\)が成り立つ。ここで、Cは辺cに対する角である。

\[ \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \]

次に、三角形の面積は\(S = \frac{1}{2}ab \sin C\)で与えられる。ここで、\(\sin C\)を\(\cos C\)を用いて表すと、\(\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C}\)となる。

\[ \sin C = \sqrt{1 - \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)^2} \]

この式を面積の式に代入し、整理する。まず、\(\sin C\)の式を展開すると、\(\sin C = \sqrt{\frac{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}{4a^2b^2}}\)となる。

\[ \sin C = \frac{\sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}}{2ab} \]

これを面積の式に代入すると、\(S = \frac{1}{2}ab \cdot \frac{\sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}}{2ab} = \frac{\sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}}{4}\)となる。

\[ S = \frac{\sqrt{4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2}}{4} \]

次に、分子の式を因数分解する。\(4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 = (2ab + a^2 + b^2 - c^2)(2ab - a^2 - b^2 + c^2)\)となる。

\[ 4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 = (2ab + a^2 + b^2 - c^2)(2ab - a^2 - b^2 + c^2) \]

ここで、\(s = \frac{a + b + c}{2}\)とおくと、\(2ab + a^2 + b^2 - c^2 = (a + b)^2 - c^2 = (a + b + c)(a + b - c) = 4s(s - c)\)となる。

\[ 2ab + a^2 + b^2 - c^2 = 4s(s - c) \]

同様に、\(2ab - a^2 - b^2 + c^2 = c^2 - (a - b)^2 = (c + a - b)(c - a + b) = 4(s - a)(s - b)\)となる。

\[ 2ab - a^2 - b^2 + c^2 = 4(s - a)(s - b) \]

したがって、面積の式は\(S = \frac{\sqrt{4s(s - a)(s - b)(s - c)}}{4} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\)となる。

\[ S = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \]

これにより、ヘロンの公式が証明される。(証明終)