ヘロンの公式

三角形の3辺の長さをa、b、cとし、半周長を $s = \frac{a + b + c}{2}$ とするとき、三角形の面積Sは $S = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$ で与えられる。

ヘロンの公式は、三角形の3辺の長さからその面積を求める公式である。幾何学や三角法において重要な役割を果たし、実用的な応用も多い。

証明

三角形の面積を求めるために、まず余弦定理を用いて一つの角の余弦を求める。余弦定理によれば、 $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ が成り立つ。ここで、Cは辺cに対する角である。

\cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}

次に、三角形の面積は $S = \frac{1}{2} a b \sin C$ で与えられる。ここで、 $\sin C$ を $\cos C$ を用いて表すと、 $\sin C = \sqrt{1 - \cos^{2} C}$ となる。

\sin C = \sqrt{1 - {(\frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b})}^{2}}

この式を面積の式に代入し、整理する。まず、 $\sin C$ の式を展開すると、 $\sin C = \sqrt{\frac{4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}{4 a^{2} b^{2}}}$ となる。

\sin C = \frac{\sqrt{4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}}{2 a b}

これを面積の式に代入すると、 $S = \frac{1}{2} a b \cdot \frac{\sqrt{4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}}{2 a b} = \frac{\sqrt{4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}}{4}$ となる。

S = \frac{\sqrt{4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2}}}{4}

次に、分子の式を因数分解する。 $4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2} = (2 a b + a^{2} + b^{2} - c^{2}) (2 a b - a^{2} - b^{2} + c^{2})$ となる。

4 a^{2} b^{2} - (a^{2} + b^{2} - c^{2})^{2} = (2 a b + a^{2} + b^{2} - c^{2}) (2 a b - a^{2} - b^{2} + c^{2})

ここで、 $s = \frac{a + b + c}{2}$ とおくと、 $2 a b + a^{2} + b^{2} - c^{2} = (a + b)^{2} - c^{2} = (a + b + c) (a + b - c) = 4 s (s - c)$ となる。

2 a b + a^{2} + b^{2} - c^{2} = 4 s (s - c)

同様に、 $2 a b - a^{2} - b^{2} + c^{2} = c^{2} - (a - b)^{2} = (c + a - b) (c - a + b) = 4 (s - a) (s - b)$ となる。

2 a b - a^{2} - b^{2} + c^{2} = 4 (s - a) (s - b)

したがって、面積の式は $S = \frac{\sqrt{4 s (s - a) (s - b) (s - c)}}{4} = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}$ となる。

S = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)}

これにより、ヘロンの公式が証明される。(証明終)