正弦定理

三角形ABCにおいて、辺の長さを\(a, b, c\)、それぞれに対する角を\(A, B, C\)とすると、次の関係式が成り立つ。

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

ここで、\(R\) は三角形ABCの外接円の半径である。

証明のために、三角形ABCの外接円を考え、円の中心をOとする。

点Aから辺BCに垂線を下ろし、その交点をHとする。すると、AHはBCの高さとなる。

\[ AH = c \sin B \]

同様に、

\[ AH = b \sin C \]

外接円の半径Rを用いると、円の直径を利用して

\[ a = 2R \sin A \]

\[ b = 2R \sin B \]

\[ c = 2R \sin C \]

これらの式を変形すると、

\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

したがって、正弦定理が証明された。(証明終)