余弦定理

三角形ABCにおいて、辺の長さを\(a, b, c\)、対応する角を\(A, B, C\)としたとき、以下の関係が成り立つ。

三角形ABCの辺\(a\), \(b\), \(c\)を考え、角\(C\)を含む辺\(a\)と\(b\)の間に直角三角形を作る。

点Aから辺BCに垂直に下ろした高さを\(h\)とし、その高さから辺BCを直角三角形として分割する。

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \]

この式は余弦定理の最も一般的な形で、三角形の角\(A\)に関連する辺の長さの関係を示す。

同様に、他の角度に対しても余弦定理は次のように表現できる。

\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B \]

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \]

これにより、三角形の任意の角度と辺の長さの関係を示すことができる。

したがって、余弦定理が証明された。(証明終)