算術の基本定理

1より大きい任意の自然数は、素数の積として一意的に表すことができる。つまり、\(n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k}\)と表され、この表現は順序を除いて一意である。ここで、\(p_1, p_2, \ldots, p_k\)は素数、\(a_1, a_2, \ldots, a_k\)は正の整数である。

算術の基本定理は、1より大きい任意の自然数が素数の積として一意的に表せることを示す。この定理は数論の基礎であり、整数の性質を理解する上で重要な役割を果たす。

証明

1より大きい任意の自然数nが素因数分解できることを示す。

数学的帰納法を用いる。n=2のとき、2は素数であるため、素因数分解は自明である。

nが合成数であると仮定し、nの最小の素因数をpとする。\(n = p \cdot m\)と表すことができる。

mに対して帰納法の仮定を適用し、mが素因数分解できることを示す。

次に、素因数分解の一意性を示す。異なる素因数分解が存在すると仮定し、矛盾を導く。

\[ n = p_1^{a_1} p_2^{a_2} \cdots p_k^{a_k} = q_1^{b_1} q_2^{b_2} \cdots q_l^{b_l} \]

\(p_1\)が\(q_1, q_2, \ldots, q_l\)のいずれかと等しいことを示す。

\(p_1\)と\(q_1\)が等しいとすると、\(a_1 = b_1\)でなければならない。

この操作を繰り返すことで、すべての素数とその指数が一致することを示す。

したがって、素因数分解は一意的である。(証明終)