確率の加法定理

二つの事象AとBの和事象の確率は、\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)で与えられる。特に、AとBが排反事象である場合、\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)が成り立つ。

二つの事象AとBの和事象\(A \cup B\)を考える。

\(A \cup B\)は、Aに含まれるがBに含まれない要素、Bに含まれるがAに含まれない要素、およびAとBの両方に含まれる要素の和集合である。

したがって、\(P(A \cup B) = P(A \setminus B) + P(B \setminus A) + P(A \cap B)\)が成り立つ。

\(P(A) = P(A \setminus B) + P(A \cap B)\)および\(P(B) = P(B \setminus A) + P(A \cap B)\)である。

これらの式を組み合わせると、\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)が得られる。

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \]

特に、AとBが排反事象である場合、\(P(A \cap B) = 0\)であるため、\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)が成り立つ。

\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]

これにより、確率の加法定理が証明される。(証明終)