確率の乗法定理

二つの事象AとBが同時に起こる確率は、\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\)で与えられる。ここで、\(P(B|A)\)はAが起こった条件下でのBの確率である。

二つの事象AとBの同時確率\(P(A \cap B)\)を考える。

条件付き確率の定義により、\(P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}\)が成り立つ。

\[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \]

この式を変形すると、\(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)\)が得られる。

\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \]

同様に、\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)も成り立つため、\(P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B)\)も得られる。

\[ P(A \cap B) = P(B) \cdot P(A|B) \]

これにより、確率の乗法定理が証明される。(証明終)