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マウント・マス
数学の定理とその証明
数学の定理とその証明
三角形の1つの外角は、その外角に隣接しない2つの内角の和に等しい。
三角形\( ABC \)を考え、\( BC \)の延長線上に点\( D \)をとり、\( ∠ACD \)を三角形の外角とする。
三角形の内角の和は\( 180 \)度であるため、次の式が成り立つ。
直線上の角度の和も\( 180 \)度であるため、次の式が成り立つ。
この2つの式を比較すると、\(∠ACD\)と\(∠ABC + ∠BAC\)が等しいことがわかる。
よって、三角形の外角は、その外角に隣接しない2つの内角の和に等しいことが証明された。(証明終)
三角形 \( ABC \) において、外角 \( \angle ACD \) が \( 110° \) であり、内角 \( \angle BAC \) が \( 50° \) である。このとき、内角 \( \angle ABC \) の大きさを求めよ。
解答外角の定理より、三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい。したがって、
\( \angle ACD = \angle BAC + \angle ABC \)
与えられた値を代入すると、
\( 110° = 50° + \angle ABC \)
\( \angle ABC = 110° - 50° = 60° \)
したがって、\( \angle ABC = 60° \)
三角形 \( ABC \) において、外角 \( \angle ACD \) が \( 130° \) であり、内角 \( \angle ABC \) が \( 45° \) である。このとき、内角 \( \angle BAC \) の大きさを求めよ。さらに、残りの内角 \( \angle ACB \) の大きさも求めよ。
解答外角の定理より、三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい。したがって、
\( \angle ACD = \angle BAC + \angle ABC \)
与えられた値を代入すると、
\( 130° = \angle BAC + 45° \)
\( \angle BAC = 130° - 45° = 85° \)
次に、三角形の内角の和は \( 180° \) であるため、
\( \angle ACB = 180° - (\angle BAC + \angle ABC) \)
\( \angle ACB = 180° - (85° + 45°) = 180° - 130° = 50° \)
したがって、
\( \angle BAC = 85° \)、\( \angle ACB = 50° \)
以下の図において、三角形 \( ABC \) の外角 \( \angle ACD \) は \( 120° \) である。また、辺 \( AB \) と辺 \( AC \) の長さは等しく、三角形 \( ABC \) は二等辺三角形である。このとき、内角 \( \angle BAC \) の大きさを求めよ。さらに、三角形 \( ABC \) の他の内角 \( \angle ABC \) と \( \angle ACB \) の大きさも求めよ。
解答
まず、外角の定理より、三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい。したがって、
\( \angle ACD = \angle BAC + \angle ABC \)
与えられた \( \angle ACD = 120° \) より、
\( \angle BAC + \angle ABC = 120° \)
次に、三角形 \( ABC \) は二等辺三角形であり、辺 \( AB = AC \) であるため、底角 \( \angle ABC = \angle ACB \) となる。したがって、内角の和は、
\( \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \)
\( \angle ABC = \angle ACB \) より、
\( \angle BAC + 2\angle ABC = 180° \)
ここで、\( \angle BAC + \angle ABC = 120° \) を代入すると、
\( 120° + \angle ABC = 180° \)
\( \angle ABC = 60° \)
したがって、\( \angle BAC = 120° - 60° = 60° \)
また、\( \angle ACB = \angle ABC = 60° \)
以上より、
\( \angle BAC = 60° \)、\( \angle ABC = 60° \)、\( \angle ACB = 60° \)